Question

7．如图，在三棱锥A一BCD中，△ABD为正三角形，底面BCD为等腰直角三角形，且∠BCD=90°，CD=2，二面角A-BD-C的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（1）证明：AC⊥平面BCD；
（2）在线段BD上是否存在点P，使直线AB与平面ACP所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{10}$？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）取BD中点E，连结AE、CE，由已知推导出AC⊥CD，AC⊥BC，由此能证明AC⊥平面BCD．
（2）以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段BD上存在点P，使直线AB与平面ACP所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{10}$，且BP=$\frac{1}{4}BD$．

解答 （1）证明：取BD中点E，连结AE、CE，
∵在三棱锥A一BCD中，△ABD为正三角形，底面BCD为等腰直角三角形，且∠BCD=90°，CD=2，
∴∠AEC是二面角A-BD-C的平面角，
由题意得AB=BD=CD=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，CE=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，AE+$\sqrt{8-2}$=$\sqrt{6}$，
∵二面角A-BD-C的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cos∠AEC=$\frac{6+2-A{C}^{2}}{2×\sqrt{2}×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得AC=2，
∴AC²+CD²=AD²，∴AC⊥CD，同理AC⊥BC，
∵BC∩DC=C，
∴AC⊥平面BCD．
（2）解：线段BD上是存在点P，使直线AB与平面ACP所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{10}$．
理由如下：
以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，
设P（a，c，0），$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BD}$，0≤λ≤1，
A（0，0，2），B（2，0，0），D（0，2，0），C（0，0，0），
$\overrightarrow{AB}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{CA}$=（0，0，2），$\overrightarrow{BP}$=（a-2，c，0），$\overrightarrow{BD}$=（-2，2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2=-2λ}\\{c=2λ}\end{array}\right.$，∴a=2-2λ，c=2λ，∴P（2-2λ，2λ，0），
$\overrightarrow{CP}$=（2-2λ，2λ，0），
设平面ACP的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=（2-2λ）x+2λy=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{λ-1}{λ}$，0），
∵直线AB与平面ACP所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{10}$，
∴|$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{2}{2\sqrt{2}×\sqrt{1+（\frac{λ-1}{λ}）^{2}}}$|=$\frac{\sqrt{5}}{10}$，
由0≤λ≤1，解得$λ=\frac{1}{4}$．
∴在线段BD上存在点P，使直线AB与平面ACP所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{10}$，BP=$\frac{1}{4}BD$．

点评 本题才副标题线面垂直的证明，考查使得直线与平面所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{10}$的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．