【题目】已知函数f(x)= .
(1)判断f(x)在(0,+∞)的单调性;
(2)若x>0,证明:(ex﹣1)ln(x+1)>x2 .
【答案】
(1)解:由函数f(x)的定义域为(﹣1,0)∪(0,+∞)
∴f′(x)= ,
设g(x)= ﹣ln(1+x),
∴g′(x)= ﹣ = <0,
∴g(x)在(0,+∞)为减函数,
∴g(x)<g(0)=0,
∴f′(x)<0,
∴f(x)在(0,+∞)为减函数
(2)解:(ex﹣1)ln(x+1)>x2等价于 > ,
∵ = = ,
∴原不等式等价于 > ,
由(1)知,f(x)= 是(0,+∞)上的减函数,
∴要证原不等式成立,只需要证明当x>0时,x<ex﹣1,
令h(x)=ex﹣x﹣1,
∴h′(x)=ex﹣1>0,
∴h(x)是(0,+∞)上的增函数,
∴h(x)>h(0)=0,
即x<ex﹣1,
∴f(x)>f(ex﹣1),
即 > => ,
故(ex﹣1)ln(x+1)>x2
【解析】(1)根据导数和函数单调性的关系,以及导数和最值得关系即可求出;(2)原不等式等价于 > ,要证原不等式成立,只需要证明当x>0时,x<ex﹣1,令h(x)=ex﹣x﹣1,利用导数和最值得关系即可证明.
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减即可以解答此题.
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【题目】下列3个命题:
(1)函数f(x)在x>0时是增函数,x<0也是增函数,所以f(x)是增函数;
(2)若函数f(x)=ax2+bx+2与x轴没有交点,则b2﹣8a<0且a>0;
(3)y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1,+∞).
其中正确命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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【题目】已知函数f(x)=ax2+2x+c(a、c∈N*)满足:①f(1)=5;②6<f(2)<11.
(1)求a、c的值;
(2)若对任意的实数x∈[ , ],都有f(x)﹣2mx≤1成立,求实数m的取值范围.
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【题目】2017年年底,某商业集团根据相关评分标准,对所属20家商业连锁店进行了年度考核评估,并依据考核评估得分(最低分60分,最高分100分)将这些连锁店分别评定为A,B,C,D四个类型,其考核评估标准如下表:
评估得分 | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
评分类型 | D | C | B | A |
考核评估后,对各连锁店的评估分数进行统计分析,得其频率分布直方图如下:
(Ⅰ)评分类型为A的商业连锁店有多少家;
(Ⅱ)现从评分类型为A,D的所有商业连锁店中随机抽取两家做分析,求这两家来自同一评分类型的概率.
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【题目】如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下:
观察图形,回答下列问题:
(1)估计这次环保知识竞赛成绩的中位数;
(2)从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选两人,求他们在同一分数段的概率?
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