Question

设实数x，y满足不等式组

1≤x+y≤4 y+2≥|2x-3|.

．
（1）画出点（x，y）所在的平面区域，并在区域中标出边界所在直线的方程；
（2）设a＞-1，在（1）所求的区域内，求函y-ax的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）将不等式组等价变形，可得约束条件，从而可画出可行域；
（2）①观察（1）的可行域②z为目标函数纵截距③画直线y-ax=0，平移直线观察最值．

解答：解：（1）不等式组等价于

1≤x+y≤4 y+2≥2x-3 2x-3≥0

或

1≤x+y≤4 y+2≥-(2x-3) 2x-3＜0

可行域，如图所示，

（2）由（1）可知，
①当直线z=y-ax的斜率a＞2时，
直线z=y-ax平移到点A（-3，7）时，目标函数z=y-ax取得最大值7+3a；
当直线z=y-ax平移到点C（3，1）时，目标函数z=y-ax取得最小值-3a+1；
②当直线z=y-ax的斜率-1＜a≤2时，
直线z=y-ax平移到点A（-3，7）时，目标函数z=y-ax取得最大值7+3a；
当直线z=y-ax平移到点B（2，-1）时，目标函数z=y-ax取得最小值-2a-1．

点评：本题考查不等式中的线性规划知识，画出平面区域与正确理解目标函数z=y-ax的几何意义是解答好本题的关键．