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【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=1,AC=AA1= ,∠ABC=60°.

(1)证明:AB⊥A1C;
(2)(理)求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值大小.
(文)求此棱柱的体积.

【答案】
(1)解:∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=1,AC=AA1= ,∠ABC=60°

∴AA1⊥AB,

∵三角形ABC中AB=1,AC= ,∠ABC=60°,

∴由正弦定理得 = ,∠ACB=30°

∴∠BAC=90°,

∴AB⊥AC;

∵AA1∩AC=A

∴AB⊥面A1CA;

∵A1C面A1CA;

∴AB⊥A1C


(2)解:(理)如图,作AD⊥A1C交A1C于D点,连接BD,

由三垂线定理知BD⊥A1C,

∴∠ADB为二面角A﹣A1C﹣B的平面角.

在Rt△AA1C中,AD= =

在Rt△BAD中,tan∠ADB= =

∴cos∠ADB=

即二面角A﹣A1C﹣B的余弦值为

(文)此棱柱的体积= = =


【解析】分析1)欲证AB⊥A1C,而A1C平面ACC1A1 , 可先证AB⊥平面ACC1A1 , 根据三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱,可知AB⊥AA1 , 由正弦定理得AB⊥AC,满足线面垂直的判定定理所需条件;(2)(理)作AD⊥A1C交A1C于D点,连接BD,由三垂线定理知BD⊥A1C,则∠ADB为二面角A﹣A1C﹣B的平面角,在Rt△BAD中,求出二面角A﹣A1C﹣B的余弦值即可.(文)根据柱体的体积公式求解即可.

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81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85

06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49

A. 12 B. 33 C. 06 D. 16

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