【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=1,AC=AA1= ,∠ABC=60°.
(1)证明:AB⊥A1C;
(2)(理)求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值大小.
(文)求此棱柱的体积.
【答案】
(1)解:∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=1,AC=AA1= ,∠ABC=60°
∴AA1⊥AB,
∵三角形ABC中AB=1,AC= ,∠ABC=60°,
∴由正弦定理得 = ,∠ACB=30°
∴∠BAC=90°,
∴AB⊥AC;
∵AA1∩AC=A
∴AB⊥面A1CA;
∵A1C面A1CA;
∴AB⊥A1C
(2)解:(理)如图,作AD⊥A1C交A1C于D点,连接BD,
由三垂线定理知BD⊥A1C,
∴∠ADB为二面角A﹣A1C﹣B的平面角.
在Rt△AA1C中,AD= = ,
在Rt△BAD中,tan∠ADB= = ,
∴cos∠ADB= ,
即二面角A﹣A1C﹣B的余弦值为
(文)此棱柱的体积= = =
【解析】分析1)欲证AB⊥A1C,而A1C平面ACC1A1 , 可先证AB⊥平面ACC1A1 , 根据三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱,可知AB⊥AA1 , 由正弦定理得AB⊥AC,满足线面垂直的判定定理所需条件;(2)(理)作AD⊥A1C交A1C于D点,连接BD,由三垂线定理知BD⊥A1C,则∠ADB为二面角A﹣A1C﹣B的平面角,在Rt△BAD中,求出二面角A﹣A1C﹣B的余弦值即可.(文)根据柱体的体积公式求解即可.
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【题目】2017年春节期间,某服装超市举办了一次有奖促销活动,消费每超过600元(含600元),均可抽奖一次,抽奖方案有两种,顾客只能选择其中的一种.
方案一:从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个,黑球7个)的抽奖盒中,一次性摸出3个球,其中奖规则为:若摸到3个红球,享受免单优惠;若摸出2个红球则打6折,若摸出1个红球,则打7折;若没摸出红球,则不打折.
方案二:从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个,黑球7个)的抽奖盒中,有放回每次摸取1球,连摸3次,每摸到1次红球,立减200元.
(1)若两个顾客均分别消费了600元,且均选择抽奖方案一,试求两位顾客均享受免单优惠的概率;
(2)若某顾客消费恰好满1000元,试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算?
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【题目】20名同学参加某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下:
(Ⅰ)求频率分布直方图中的值;
(Ⅱ)分别求出成绩落在, 中的学生人数;
(Ⅲ)从成绩在的学生中任选2人,求此2人的成绩都在中的概率.
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【题目】福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01,02,03,…,32,33这33个二位号码中选取,小明利用如图所示的随机数表选取红色球的6个号码,选取方法是从第1行第9列和第10列的数字开始从左到右依次选取两个数字,则第四个被选中的红色球号码为( )
81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85 |
06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49 |
A. 12 B. 33 C. 06 D. 16
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,圆的方程为.
(1)求圆的直角坐标方程;
(2)设圆与直线交于点,若点的坐标为,求的最小值.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明:PA∥平面EDB;
(2)证明:PB⊥平面EFD.
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【题目】已知数列中, , , .数列的前n项和为,满足, .
(1)求数列的通项公式;
(2)数列能否为等差数列?若能,求其通项公式;若不能,试说明理由;
(3)若数列是各项均为正整数的递增数列,设,则当, , 和, , 均成等差数列时,求正整数, , 的值.
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【题目】已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 ,且过点D(2,0).
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)设点 ,若P是椭圆上的动点,求线段PA的中点M的轨迹方程.
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