Question

【题目】已知函数f（x）= x3﹣ax2+（a2﹣1）x+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间，并求出f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=x2﹣2ax+a2﹣1，

∵（1，f（1））在x+y﹣3=0上，

∴f（1）=2，

∵（1，2）在y=f（x）上，

∴2= ﹣a+a2﹣1+b，

又f′（1）=﹣1，

∴a2﹣2a+1=0，

解得a=1，b=

（2）解：∵f（x）= x3﹣x2+ ，

∴f′（x）=x2﹣2x，

由f′（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的极值点，所以有

x	（﹣∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，0）和（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．

∵f（0）= ，f（2）= ，f（﹣2）=﹣4，f（4）=8，

∴在区间[﹣2，4]上的最大值为8

【解析】（1）根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，建立等式关系，再根据切点在函数图象建立等式关系，解方程组即可求出a和b，从而得到函数f（x）的解析式；（2）先求出f′（x）=0的值，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．