Question

已知直线l₁：x-y+C₁=0，C1=

2

，l₂：x-y+C₂=0，l₃：x-y+C₃=0，…，l_n：x-y+C_n=0（其中C₁＜C₂＜C₃＜…＜C_n），当n≥2时，直线l_n-1与l_n间的距离为n．
（1）求C_n；
（2）求直线l_n-1：x-y+C_n-1=0与直线l_n：x-y+C_n=0及x轴、y轴围成图形的面积．

Answer 1

分析：（1）原点O到l₁的距离d₁=1，由点到直线的距离公式求出O到ln的距离：d_n =1+2+…+n，据Cn=

2

d_n，可求C_n 的值．
（2）由这组平行线的斜率等于1知，围成的图形是个等腰直角三角形，设直线l_n：x-y+C_n=0交x轴于点M，交y轴于点N，S_△OMN=

1

2

|OM|•|ON|=

1

2

（C_n）²，把C_n 的值代入，同理求直线l_n-1：x-y+C_n-1=0与x轴、y轴围成图形的面积，从而可求得结果．

解答：解：（1）由已知条件可得l₁：x-y+2=0，则原点O到l₁的距离d₁=1，
由平行直线间的距离可得原点O到l_n的距离d_n为：1+2+…+n=

n(n+1)

2

，
∵C_n=

2

d_n，∴C_n=

2 •n(n+1)

2

．     …（6分）
（2）设直线ln：x-y+Cn=0交x轴于点M，交y轴于点N，
则△OMN的面积S_△OMN=S_n=

1

2

|OM|•|ON|=

1

2

（C_n）²=

n2(n+1)2

4

，
同理直线l_n-1：x-y+C_n-1=0与x轴、y轴围成图形的面积Sn-1=

(n-1)2n2

4

，故所求面积为n³．…..（12分）

点评：本题考查平行线间的距离公式及点到直线的距离公式的应用，直线方程的应用，体现了转化的数学思想．