Question

已知三棱锥V-ABC中，VA=3，VB=4，VC=，点E为侧棱VC上的一点，VA⊥BE，且顶点V在底面ABC上的射影为底面的垂心．如果球O是三棱锥V-ABC的外接球，则V，A两点的球面距离是（ ）
A．2π
B．
C．π
D．

Answer 1

【答案】分析：由题意，作VD⊥底面ABC，则D为底面的垂心，进一步证明VA，VB，VC两两垂直．以VA，VB，VC作长方体，则长方体的外接球是三棱锥V-ABC的外接球，其直径为，求出球心角，即可求得V，A两点的球面距离．
解答：解：由题意，作VD⊥底面ABC
∵顶点V在底面ABC上的射影为底面的垂心
∴D为底面的垂心
∴DA⊥BC，DB⊥AC，DC⊥AB
∴VA⊥BC，VC⊥AB
∵VA⊥BE，BC∩BE=B
∴VA⊥平面VBC
∴VA⊥VC
∵VC⊥AB，VA∩AB=A
∴VC⊥平面VAB
∴VC⊥VB
∴VA，VB，VC两两垂直
以VA，VB，VC作长方体，则长方体的外接球是三棱锥V-ABC的外接球，其直径为
∴半径为3
∵VA=3，
∴球心角为
∴V，A两点的球面距离是=
故选B．
点评：本题考查三棱锥的外接球，考查球面距离，确定外接球的半径是关键，属于中档题．