Question

7．已知双曲线C的焦点为F₁，F₂，点P为双曲线上一点，若|PF₂|=2|PF₁|，∠PF₁F₂=60°，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{1+\sqrt{13}}{2}$

Answer 1

分析 根据题设条件，利用余弦定理能够求出|PF₁|=$\frac{\sqrt{13}-1}{3}$c，再由双曲线定义可以推导出2a=$\frac{\sqrt{13}-1}{3}$c，从而求出该双曲线的离心率．

解答 解：设|PF₁|=x，|PF₂|=2x，|F₁F₂|=2c，
∵∠PF₁F₂=60°，
∴cos60°=$\frac{{x}^{2}+4{c}^{2}-4{x}^{2}}{2•x•2c}$=$\frac{1}{2}$⇒x=$\frac{\sqrt{13}-1}{3}$c，
∵|PF₂|-|PF₁|=2a，
∴x=2a=$\frac{\sqrt{13}-1}{3}$c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$．
故选：D．

点评 本题主要考查双曲线的定义和基本性质，主要是双曲线的离心率，借助余弦定理解决圆锥曲线问题是解决高考试题的一种常规方法．