Question

设函数
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）证明：当时，；
（Ⅲ）证明：当，且…，，时，
(1)…
(2) ….

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。求解函数的单调区间和证明不等是的综合运用。
（1）先求解函数的定义域和函数的导数，然后结合导数的符号判定单调区间。
（2）运用第一问中的结论。得到不等式的放缩得到证明。
（3）结合第一问和第二问的基础上，进一步放缩法得到结论。
解：（Ⅰ）由，有，………………… 2分
当时，时，单调递增；
当时，时，单调递减；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为. …… 4分
（Ⅱ）设，
则.………………6分
由（Ⅰ）知，在单调递减，
∴，即是减函数，
而，所以，得，
得，故.………………… 8分
（Ⅲ）（1）由…，及柯西不等式可知，
…
……

，                           
所以，……………………11分
（2）由（1）得：.  
又，由（Ⅱ）可知，
即，即.
则.
故………………14分