Question

已知圆C经过点A（2，-1），圆心在直线2x+y=0上，且与直线x+y=1相切，则圆C的标准方程是

 

．

Answer 1

分析：由圆C的圆心经过直线2x+y=0，设出圆心C的坐标为（a，-2a），由点到直线的距离公式表示出圆心C到直线x+y=1的距离d，然后利用两点间的距离公式表示出AC的长度即为圆的半径，然后根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可确定出圆心坐标及半径，然后根据圆心和半径写出圆的方程即可．

解答：解：因为圆心C在直线2x+y=0上，可设圆心为C（a，-2a）．
则点C到直线x+y=1的距离d=

|a-2a-1|

2

=

|a+1|

2

．
据题意，d=|AC|，则

|a+1|

2

=

(a-2)2+(-1+2a)2

，
解得a=1．
所以圆心为C（1，-2），半径r=d=

2

，
则所求圆的方程是（x-1）²+（y+2）²=2．
故答案为：（x-1）²+（y+2）²=2

点评：此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．