Question

已知圆O：x²+y²=4，圆O与x轴交于A、B两点，过点B的圆的切线为l，P是圆上异于A、B的一点，PH垂直于x轴，垂足为H，E是PH的中点，延长AP，AE分别交l于F，C．
（1）若点P（1，

3

），求以FB为直径的圆的标准方程；
（2）当P在圆O上运动时，证明：直线PC恒与圆O相切．

Answer 1

考点：圆的标准方程,直线与圆的位置关系

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）先确定直线AP的方程为y=

3

3

（x+2）．求得F（2，

4 3

3

），确定直线AE的方程为y=

3

6

（x+2），求得C（2，

2 3

3

），由此可得圆的方程；
（2）设P（x₀，y₀），则E（x₀，

y0

2

），求得直线AE的方程，进而可确定直线PC的斜率，由此即可证得直线PC与圆O相切．

解答： （1）证明：由P（1，

3

），A（-2，0）
∴直线AP的方程为y=

3

3

（x+2）．
令x=2，得F（2，

4 3

3

）．（2分）
由E（1，

3

2

），A（-2，0），则直线AE的方程为y=

3

6

（x+2），
令x=2，得C（2，

2 3

3

）．（4分）
∴C为线段FB的中点，以FB为直径的圆恰以C为圆心，半径等于

2 3

3

∴圆的方程为（x-2）²+（y-

2 3

3

）²=

4

3

，且P在圆上；
（2）证明：设P（x₀，y₀），则E（x₀，

y0

2

），则直线AE的方程为y=

y0

2(x0+2)

（x+2）
在此方程中令x=2，得C（2，

2y0

x0+2

）
直线PC的斜率为

2y0 x0+2 -y0

2-x0

=-

x0y0

4-x02

=-

x0

y0

若x₀=0，则此时PC与y轴垂直，即PC⊥OP；         （13分）
若x₀≠0，则此时直线OP的斜率为

y0

x0

，
∵

y0

x0

×（-

x0

y0

）=-1
∴PC⊥OP
∴直线PC与圆O相切．（16分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的方程，解题的关键是确定圆的圆心与半径，利用斜率关系确定直线与圆相切．