Question

【题目】在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为 ，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．
（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）直线l与直线C2交于M，N两点，若|MN|≥2 ，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，

曲线C1的极坐标方程ρ（ρ﹣4sinθ）=12，

可得曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=12，

设点P（x′，y′），Q（x，y），

根据中点坐标公式，得 ，代入x2+y2﹣4y=12，

得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4

（2）解：直线l的普通方程为：y=ax，

设圆心到直线的距离为d，

由弦长公式可得，|MN|=2 ≥2 ，

可得圆心（3，1）到直线的距离为d= ≤ ，

即为4a2﹣3a≤0，

解得实数a的取值范围为：[0， ]

【解析】（1）首先，将曲线C1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，运用点到直线的距离公式和弦长公式，解不等式即可得到取值范围．