Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知C=

π

3

．
（1）若a=2，b=3，求边c；
（2）若c=

3

，sinC+sin（B-A）=sin2A，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由a，b及cosC的值，利用余弦定理即可求出c的值；
（2）由A，B，C为三角形内角，得到C=π-（A+B），代入已知等式化简，左边利用和差化积公式变形，当cosA不为0时，得到sinA=sinB，即A=B，确定出三角形为等边三角形，求出此时面积；当cosA=0时，确定出A度数为90度，即此时三角形为直角三角形，求出此时面积即可．

解答：解：（1）∵a=2，b=3，C=

π

3

，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=4+9-6=7，
则c=

7

；
（2）∵A+B+C=π，
∴C=π-（A+B），
∴sinC+sin（B-A）=sin2A化简为：sin（B+A）+sin（B-A）=2sinAcosA，即2sinBcosA=2sinAcosA，
当cosA≠0时，sinA=sinB，
∵A、B为三角形内角，
∴A=B或A+B=π（舍去），
又C=

π

3

，c=

3

，
∴△ABC为等边三角形，
此时S_△ABC=

1

2

absinC=

3 3

4

；
当cosA=0时，A=

π

2

，
∴△ABC为直角三角形，B=

π

6

，
设b=x，则a=2x，
根据勾股定理得：x²+（

3

）²=（2x）²，
解得：x=1，
则b=1，a=2，
此时S_△ABC=

1

2

absinC=

3

2

．

点评：此题考查了余弦定理，勾股定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．