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已知f′(x)是f(x)的导函数,f(x)=ln(x+1)+m-2f′(1),m∈R,且函数f(x)的图象过点(0,-2).
(1)求函数y=f(x)的表达式;
(2)设g(x)=
1x
+aln(x+1)-2a
在点(1,g(1))处的切线与y轴垂直,求g(x)的极大值.
分析:(1)对函数求导可得f(x)=
1
x+1
,从而可得f(1)=
1
2
,由函数f(x)的图象过点(0,-2)可得f(0)=-2代入可求.
(2)对函数g(x)求导,由题意可得g′(1)=0,代入可求a的值及函数g(x),研究函数g(x)的单调性,结合单调性求函数的极大值.
解答:解:(1)由已知得f′(x)=
1
x+1
,∴f′(1)=
1
2
(2分)
又f(0)=-2∴ln1+m-2×
1
2
=-2
(4分)
∴m=-1,(5分)
∴f(x)=ln(x+1)-2(6分)
(2)∵g(x)=
1
x
+aln(x+1)-2a

g′(x)=-
1
(x+1)2
+
a
x+1
=
ax+a-1
(x+1)2
.(8分)
又x∈(-1,0)∪(0,+∞)
g′(1)=
a-2
2
=0
,得a=2(10分)
g(x)=
1
x
+2ln(x+1)-4

g′(x)=
2x2-x-1
(x+1)•x2
=
(2x+1)(x-1)
(x+1)•x2

由g'(x)>0,解得-1<x<-
1
2
或x>1;
由g'(x)<0,解得-
1
2
<x<1
或x≠0.(12分)
则g(x)的单调增区间是(-1,-
1
2
),(1,+∞)

单调递减区间是(-
1
2
,0),(0,1)

故g(x)极大值为g(-
1
2
)=-2+2ln(-
1
2
+1)-4=-6-2ln2

极小值为g(1)=1+2ln2-4=-3+2ln2.(14分)
点评:本题考查了函数导数的几何意义:函数在某点的导数值即为改点的切线的斜率,属于基本知识、基本运算的考查.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+
π
2
)
是偶函数,给出下列四个结论:
①f(x)是周期函数;
②x=π是f(x)图象的一条对称轴;
③(-π,0)是f(x)图象的一个对称中心;
④当x=
π
2
时,f(x)一定取最大值.
其中正确的结论的代号是(  )
A、①③B、①④C、②③D、②④

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知f′(x)是f(x)的导函数,在区间[0,+∞)上f′(x)>0,且偶函数f(x)满足f(2x-1)<f(
13
)
,则x的取值范围是
 

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1
3
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已知f(x)是定义在R上的可导函数,对任意x∈(0,+∞),都有f(x)>0,且f(x)>f′(x)•lnxx,则f(2)与f(e)•ln2的大小关系是(  )

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知f(x)是定义在R上的可导函数,对任意x∈(0,+∞),都有f(x)>0,且f(x)>f′(x)•lnxx,则f(2)与f(e)•ln2的大小关系是(  )
A.f(2)>f(e)•ln2B.f(2)=f(e)•ln2C.f(2)<f(e)•ln2D.不能确定

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