【题目】若函数f(x)=(4﹣x2)(ax2+bx+5)的图象关于直线 对称,则f(x)的最大值是 .
【答案】36
【解析】解:∵函数f(x)=(4﹣x2)(ax2+bx+5)的图象关于直线 对称,点(2,0),(﹣2,0)在函数f(x)的图象上,
∴点(﹣1,0),(﹣5,0)必在f(x)图象上,
则 ,解得a=1,b=6.
∴f(x)=(4﹣x2)(x2+6x+5)=﹣(x+2)(x﹣2)(x+1)(x+5)=﹣(x2+3x+2)(x2+3x﹣10),
令 ,
则f(x)=﹣t(t﹣12)=﹣t2+12t=﹣(t﹣6)2+36,
当t=6时,函数f(x)的最大值为36.
故f(x)的最大值是36.
【考点精析】认真审题,首先需要了解函数的最值及其几何意义(利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值).
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【题目】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏
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【题目】在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知函数与的定义域为,有下列5个命题:
①若,则的图象自身关于直线轴对称;
②与的图象关于直线对称;
③函数与的图象关于轴对称;
④为奇函数,且图象关于直线对称,则周期为2;
⑤为偶函数, 为奇函数,且,则周期为2.
其中正确命题的序号是____________.
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【题目】设函数,若对于在定义域内存在实数满足,则称函数为“局部奇函数”.若函数是定义在上的“局部奇函数”,则实数的取值范围是( )
A. [1﹣,1+) B. [﹣1,2] C. [﹣2,2] D. [﹣2,1﹣]
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【题目】下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的回归方程 ;
(2)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(1)求出的回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
(参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)计算回归系数 , .公式为 .
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【题目】直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA1=2, =λ .
(1)若λ=1,求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值;
(2)若二面角B1﹣A1C1﹣D的大小为60°,求实数λ的值.
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