Question

13．设函数f（x）=（x+b）lnx，g（x）=alnx+$\frac{1-a}{2}{x^2}$-x（a≠1），已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直．
（1）求b的值；
（2）若对任意x≥1，都有g（x）＞$\frac{a}{a-1}$，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数导数，由两直线垂直斜率之积为-1，解方程可得b；
（2）求出导数，对a讨论，①若a≤$\frac{1}{2}$，则$\frac{a}{1-a}$≤1，②若$\frac{1}{2}$＜a＜1，则$\frac{a}{1-a}$＞1，③若a＞1，分别求出单调区间，可得最小值，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）直线x+2y=0的斜率为-$\frac{1}{2}$，
可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，所以f′（1）=2，------------（2分）
又f′（x）=lnx+$\frac{b}{x}$+1，即ln1+b+1=2，所以b=1．-----------------（4分）
（2）g（x）的定义域为（0，+∞），
g′（x）=$\frac{a}{x}$+（1-a）x-1=$\frac{（1-a）x-a}{x}$（x-1）．----------------------------（5分）
①若a≤$\frac{1}{2}$，则$\frac{a}{1-a}$≤1，故当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增．
所以，对任意x≥1，都有g（x）＞$\frac{a}{a-1}$的充要条件为g（1）＞$\frac{a}{a-1}$，即$\frac{1-a}{2}$-1＞$\frac{a}{a-1}$，
解得a＜-$\sqrt{2}$-1或$\sqrt{2}$-1＜a≤$\frac{1}{2}$---------------------（8分）
②若$\frac{1}{2}$＜a＜1，则$\frac{a}{1-a}$＞1，故当x∈（1，$\frac{a}{1-a}$）时，g′（x）＜0；
当x∈（0，1），（$\frac{a}{1-a}$，+∞）时，g′（x）＞0．
f（x）在（1，$\frac{a}{1-a}$）上单调递减，在（0，1），（$\frac{a}{1-a}$，+∞）上单调递增．
所以，对任意x≥1，都有g（x）＞$\frac{a}{a-1}$的充要条件为g（x）＞$\frac{a}{a-1}$．
而g（x）=aln$\frac{a}{1-a}$+$\frac{a2}{2（1-a）}$+$\frac{a}{a-1}$＞$\frac{a}{a-1}$在$\frac{1}{2}$＜a＜1上恒成立，
所以$\frac{1}{2}$＜a＜1-----------------------------------------------（10分）
③若a＞1，g（x）在[1，+∞）上递减，不合题意．
综上，a的取值范围是（-∞，-$\sqrt{2}$-1）∪（$\sqrt{2}$-1，1）．--------------------（12分）

点评 本题考查导数的运用：求切线斜率和单调区间，考查不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想方法，考查化简整理运算能力，属于中档题．