Question

（2010•和平区一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，左、右焦点分别为F₁、F₂，点P(2，

3

)满足：F₂在线段PF₁的中垂线上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A（2，0）、M、N，且∠NF₂F₁=∠MF₂A，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）解法一：由椭圆C的离心率 e=

2

2

和点F₂在线段PF₁的中垂线上知|F₁F₂|=|PF₂|，由此推出 (2c)2=(

3

)2+(2-c)2，从而可求出椭圆C的方程．
解法二：椭圆C的离心率e=

2

2

，得

c

a

=

2

2

，先求得线段PF₁的中点为D的坐标，根据线段PF₁的中垂线过点F₂，利用kPF1•kDF2=-1，得出关于c的方程求出c值，最后求得a，b写出椭圆方程即可；
（2）设直线l的方程为y=k（x-2），，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用∠NF₂F₁=∠MF₂A得出的斜率关系即可求得k的取值范围．

解答：解：（1）解法一：椭圆C的离心率e=

2

2

，得

c

a

=

2

2

，其中c=

a2-b2

椭圆C的左、右焦点分别为F₁（-c，0），、F₂（c，0），
又点F₂在线段PF₁的中垂线上，∴F₁F₂=PF₂，∴(2c)2=(

3

)2+(2-c)2
解得c=1，a²=2，b²=1，∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．…（6分）
解法二：椭圆C的离心率e=

2

2

，得

c

a

=

2

2

，其中c=

a2-b2

椭圆C的左、右焦点分别为F₁（-c，0），、F₂（c，0），
设线段PF₁的中点为D，∵F₁（-c，0），P(2，

3

)，∴D(

2-c

2

，

3

2

)，
又线段PF₁的中垂线过点F₂，∴kPF1•kDF2=-1，即

3

2+c

•

3 2

2-c 2 -c

=-1⇒c=1，a²=2，b²=1，
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1
（2）由题意，直线l的方程为y=k（x-2），且k≠0，
联立

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
由△=8（1-2k²）＞0，得-

2

2

＜k＜

2

2

，且k≠0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则有x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

，（*）
∵∠NF₂F₁=∠MF₂A，且由题意∠NF₂A≠90°，∴kMF2+kNF2=0，
又F₂（1，0），∴

y1

x1-1

+

y2

x2-1

=0，即

k(x1-2)

x1-1

+

k(x2-2)

x2-1

=0，
∴2-(

1

x1-1

+

1

x2-1

)=0，整理得2x₁x₂-3（x₁+x₂）+4=0，
将（*）代入得，

16k2-4

1+2k2

-

24k2

1+2k2

+4=0，知上式恒成立，故直线l的斜率k的取值范围是(-

2

2

，0)∪(0，

2

2

)． …（12分）

点评：本小题主要考查椭圆的方程及几何性质、直线与圆锥曲线的综合问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．