练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知数列{an}的前n项和Sn=2n2+2n，数列{bn}是各项都为正数的等比数列，且满足a1=b1+3，b3（a2-a1）=b1．
    （Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
    （Ⅱ）设Tn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn，求证：Tn＜16
    （Ⅲ）记cn=（an-5）•bn，是否存在正整数M，使得对一切n∈N*，都有cn≤M恒成立？若存在，请求出M的最小值；若不存在，请说明理由．
    分析：（I）利用Sn=2n2+2n，再写一式，两式相减，可求数列{an}的通项公式；利用a1=b1+3，b3（a2-a1）=b1，可求{bn}的通项公式；
    （Ⅱ）利用错位相减法求Tn，即可证得结论；
    （III）确定c3=
    7
    4
    是数列{cn}的最大项，即可确定正整数M的值．
    解答：（Ⅰ）解：∵数列{an}的前n项和，Sn=2n2+2n，
    ∴an=Sn-Sn-1=4n(n∈N*，n≥2)
    又a1=S1=4，适合上式
    ∴数列{an}的通项公式为an=4n(n∈N*)…（2分）
    ∵数列{bn}是正项等比数列，b1=a1-3=1，a2-a1=4，
    ∴b3=
    1
    4
    ，∴公比q=
    1
    2
    ，
    则数列{bn}的通项公式为bn=
    1
    2n-1
    （n∈N*）．     …（4分）
    （Ⅱ）证明：∵an=4n，
    b
     
    n
    =
    1
    2n-1

    ∴Tn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=4[1+2•
    1
    2
    +3•
    1
    22
    …+n•
    1
    2n-1
    ]
    ∴
    1
    2
    •Tn=4[1•
    1
    2 
    +2•
    1
    22
    +…++(n-1)•
    1
    2n-1
    +n•
    1
    2n
    ]    …（6分）
    1
    2
    •Tn=4[(1+
    1
    2
    +
    1
    22
    +…++
    1
    2n-1
    )-n•
    1
    2n
    ]=4•
    1-
    1
    2n
    1-
    1
    2
    -4n•
    1
    2n

    ∴Tn═16-(16+8n)•
    1
    2n
    ＜16    …（10分）
    （Ⅲ）解：∵cn=an•bn=
    4n-5
    2n-1
    ，
    ∴cn+1-cn=
    4n-1
    2n
    -
    4n-5
    2n-1
    =
    9-4n
    2n
    ，…（11分）
    当n≤2时，cn+1-cn＞0，∴c3＞c2＞c1；
    当n≥3时，cn+1＜cn，即c3＞c4＞c5＞…．
    ∴c3=
    7
    4
    是数列{cn}的最大项，…（13分）
    故存在最小的正整数M=2，使得对一切n∈N*，cn≤M恒成立． …（14分）
    点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    19、已知数列{an}的前n项和Sn=n2（n∈N*），数列{bn}为等比数列，且满足b1=a1，2b3=b4
    （1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
    （2）求数列{anbn}的前n项和．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}的前n项和Sn=an2+bn（a、b∈R），且S25=100，则a12+a14等于（　　）
    A、16B、8C、4D、不确定

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n+1，那么它的通项公式为an=
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    13、已知数列{an}的前n项和为Sn=3n+a，若{an}为等比数列，则实数a的值为
    -1
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=kSn+2，又a1=2，a2=1．
    （1）求k的值及通项公式an．
    （2）求Sn．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案