Question

下列命题
①命题“事件A与B互斥”是“事件A与B对立”的必要不充分条件．
②“am²＜bm²”是“a＜b”的充分必要条件．
③“矩形的两条对角线相等”的否命题为假．
④在△ABC中，“∠B=60°”是∠A，∠B，∠C三个角成等差数列的充要条件．
⑤△ABC中，若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形．
其中的有

 

．

Answer 1

分析：①命题“事件A与B互斥”是“事件A与B对立”的必要不充分条件．由事件的定义判断；
②“am²＜bm²”是“a＜b”的充分必要条件，由不等式的性质判断．
③“矩形的两条对角线相等”的否命题为假，写出其否命题判断即可．
④在△ABC中，“∠B=60°”是∠A，∠B，∠C三个角成等差数列的充要条件，由内角和及等差数列的性质判断．
⑤△ABC中，若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形，由角的互余关系判断．

解答：解：①命题“事件A与B互斥”是“事件A与B对立”的必要不充分条件，由于对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立，知“事件A与B互斥”是“事件A与B对立”的必要不充分条件、此命题正确．
②“am²＜bm²”是“a＜b”的充分必要条件，由“am²＜bm²”可以得出“a＜b”成立，反之，当m=0时，不能得出“am²＜bm²”故am²＜bm²”是“a＜b”的充分非必要条件，此命题不成立．
③“矩形的两条对角线相等”的否命题为假，由于其否命题是“不是矩形的四边形，其两对角线不相等”，研究等腰梯形知，它的对角线相等，故此命题正确．
④在△ABC中，“∠B=60°”是∠A，∠B，∠C三个角成等差数列的充要条件，研究知，当角A是60°时也可得出三角成等差数列，故命题不正确．
⑤△ABC中，若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形，当A是锐角时，由于B是锐角，故有sinA=sin（

π

2

-B），此时有A=

π

2

-B，即A，B两角的和是直角，此时是直角三角形，若A是钝角，则有sin（π-A）=sin（

π

2

-B），可得A-B=

π

2

，如A=91°，B=1°时，亦有sinA=cosB，故三角形不一定是直角三角形．
综上知，①③正确
故答案为：①③．

点评：本题考查不等关系与不等式，解三角形，事件的分类等，解题的关系是理解命题相关的知识，且能用这些知识结合充分条件与必要条件定义进行判断．