Question

20．点P是抛物线y²=4x上一动点，则点P到点（0，-1）的距离与抛物线准线的距离之和最小时，P的坐标是（3-2$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出直线AF的方程为x-y-1=0，与抛物线y²=4x联立，即可得出结论．

解答 解：依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，A（0，-1）．
则F（1，0），
依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|，
则点P到点A（0，-1）的距离与P到该抛物线准线的距离之和，
d=|PF|+|PA|≥|AF|=$\sqrt{2}$．
直线AF的方程为x-y-1=0，与抛物线y²=4x联立可得y²-4y-4=0，
y=2±2$\sqrt{2}$，结合题意，可得P（3-2$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$）．
故答案为（3-2$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查抛物线的定义，考查求距离和，解题的关键是点P到点（0，-1）的距离与P到该抛物线准线的距离之和转化为点P到点（0，-1）的距离与P到焦点F的距离之和．