Question

已知等比数列{a_n}满足a3=12，a8=

3

8

，数列{b_n}满足b₁=-1，b_n+1=b_n+（2n-1）（n=1，2，3…）．
（I）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项b_n；
（Ⅲ）若cn=an+

bn

n

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为{a_n}是等比数列，设首项为a₁和公比q，由已知，得出方程组求出a₁和公比q，通项公式可求．
（Ⅱ）b_n+1=b_n+（2n-1）变形为b_n+1-b_n=2n-1，利用累和法求通项公式．b₂-b₁
（Ⅲ）cn=an+

bn

n

=48×(

1

2

)n-1+（n-2）利用分组求和法求解即可．

解答：解：（I）因为{a_n}是等比数列，设首项为a₁和公比q，由已知得出

a1q2=12 a1q7= 3 8

，两式相除得出q⁵=

1

32

，
∴q=

1

2

，从而a₁=48．通项公式a_n=48×(

1

2

)n-1
（Ⅱ）b_n+1=b_n+（2n-1）变形为b_n+1-b_n=2n-1，
当n≥2时，b_n=b₁+（ b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…（b_n-b_n-1）
=-1+1+3+…+（2n-3）
=-1+

[1+(2n-3)](n-1)

2

=-1+（n-1）²
=n²-2n
当n=1时，b₁=-1，也满足．
所以数列{b_n}的通项，b_n=n²-2n
（Ⅲ）cn=an+

bn

n

=48×(

1

2

)n-1+（n-2）
T_n=48×

1-( 1 2 )n

1- 1 2

+

[-1+(n-2)]•n

2

=96×[1-(

1

2

)n]+

n2-3n

2

点评：本题考查了数列通项公式的两种求法：公式法和累和法，求和方法：公式法和分组法．属于常规要求．