Question

（2007•上海模拟）已知向量

a

={sinx，cosx}，

b

={cosx，cosx}，(x∈R)，已知函数f（x）=

a

•(

a

+

b

)
（1）求函数f（x）的最值与最小正周期；
（2）求使不等式f(x)≥

3

2

x∈[0，π]成立的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意，可先由向量数量积公式将函数变为三角函数，再利用三角恒等变换公式将其变为f（x）=

3

2

+

2

2

sin(2x+

π

4

)，由正弦函数的性质求最值、周期即可；
（2）可令f（x）=

3

2

+

2

2

sin(2x+

π

4

)≥

3

2

，解此三角不等式得到x的取值范围，计算出x∈[0，π]部分即为使不等式f(x)≥

3

2

，x∈[0，π]成立的x的取值范围．

解答：解：

a

+

b

={sinx+cosx，2cosx}…（1分）
f（x）=

a

•(

a

+

b

)
=sinx（sinx+cosx）+2cos²x
=1+

1

2

sin2x+

1

2

(cos2x+1)
=

3

2

+

2

2

sin(2x+

π

4

)…（4分）
（1）∴f（x）的最大值是

3

2

+

2

2

，f（x）的最小值是

3

2

-

2

2

，…（6分）
f（x）的最小正周期是T=

2π

2

=π…（7分）
（2）由解知f(x)≥

3

2

⇒

3

2

+

2

2

sin(2x+

π

4

)≥

3

2

⇒sin(2x+

π

4

)≥0⇒kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z…（10分）
又∵x∈[0，π]
∴x的取值范围是[0，

3π

8

]∪[

7π

8

，π]…（12分）

点评：本题考点是平面向量综合题，考查了向量数量积运算，加法运算，三角函数的最值，三角函数的周期求法，三角不等式的解法，解题的关键是对函数的解析式化简，熟练掌握向量运算公式及三角恒等变换公式，本题综合性较强，是向量与三角综合考查的经典题型