Question

6．已知数列{a_n}中，a₃=2，a₇=1，若$\{\frac{1}{{{a_n}+1}}\}$为等差数列，则a₁₉=0．

Answer 1

分析 先求出公差d=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{{a}_{7}+1}$-$\frac{1}{{a}_{3}+1}$）=$\frac{1}{24}$，再求出$\frac{1}{{a}_{19}+1}$，由此能求出a₁₉的值．

解答 解：∵数列{a_n}中，a₃=2，a₇=1，$\{\frac{1}{{{a_n}+1}}\}$为等差数列，
∴d=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{{a}_{7}+1}$-$\frac{1}{{a}_{3}+1}$）=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{24}$，
∴$\frac{1}{{a}_{19}+1}$=$\frac{1}{{a}_{3}+1}$+16d=$\frac{1}{3}+16×\frac{1}{24}$=1，
解得a₁₉=0．
故答案为：0．

点评 本题考查等差数列中两项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．