【题目】已知函数 (为实常数) .
(I)当时,求函数在上的最大值及相应的值;
(II)当时,讨论方程根的个数.
(III)若,且对任意的,都有,求
实数a的取值范围.
【答案】(Ⅰ) ,当时,取等号;(Ⅱ) 当时,即时,方程有2个相异的根;当 或时,方程有1个根;当时,方程有0个根;(Ⅲ)
【解析】试题分析:(I)把代入函数解析式,求出函数的导函数,由导函数的零点把给出的定义[1,e]分段,判出在各段内的单调性,从而求出函数在[1,e]上的最大值及相应的x值;
(II)方程根的个数等价于时,方程根的个数, 设=,求导话简图,利用数形结合讨论即可得解;
(III)a>0, 等价于,原题等价于函数在时是减函数, 恒成立,即在时恒成立,进而求函数最值即可.
试题解析:
(I),
当时, ,所以单调递减;
当时, ,所以单调递增.
又,
故,当时,取等号.
(II)易知,故,方程根的个数等价于时,方程根的个数。
设=,
当时, ,函数递减,当时, ,函数递增。又, ,作出与直线的图像,
由图像知:
当时,即时,方程有2个相异的根;
当 或时,方程有1个根;
当时,方程有0个根;
(III)当时, 在时是增函数,又函数是减函数,不妨设,则等价于
即,故原题等价于函数在时是减函数,
恒成立,即在时恒成立。
在时是减函数,所以.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M: 及其上一点A(2,4)
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点,且BC=OA,求直线l的方程;
(3)设点T(t,o)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围。
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【题目】如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,M,N分别是棱AA1,AB上的点,且AM=AN=1.
(1)证明:M,N,C,D1四点共面;
(2)平面MNCD1将此正方体分为两部分,求这两部分的体积之比.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,圆:与轴的正半轴交于点,以点为圆心的圆:与圆交于,两点.
(1)当时,求的长;
(2)当变化时,求的最小值;
(3)过点的直线与圆A切于点,与圆分别交于点,,若点是的中点,试求直线的方程.
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【题目】已知等差数列的前项的和为,公差,若,,成等比数列,;数列满足:对于任意的,等式都成立.
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:数列是等比数列;
(3)若数列满足,试问是否存在正整数,(其中),使,,成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组;若不存在,请说明理由.
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【题目】近几年,京津冀等地数城市指数“爆表”,尤其2015年污染最重.为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关,现采集到北方某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与PM2.5的数据如表:
时间 | 星期一 | 星期二 | 星期三 | 星期四 | 星期五 | 星期六 | 星期日 |
车流量x(万辆) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
PM2.5的浓度y(微克/立方米) | 28 | 30 | 35 | 41 | 49 | 56 | 62 |
(Ⅰ)由散点图知y与x具有线性相关关系,求y关于x的线性回归方程;
(Ⅱ)(ⅰ)利用(Ⅰ)所求的回归方程,预测该市车流量为8万辆时PM2.5的浓度;
(ⅱ)规定:当一天内PM2.5的浓度平均值在(0,50]内,空气质量等级为优;当一天内PM2.5的浓度平均值在(50,100]内,空气质量等级为良.为使该市某日空气质量为优或者为良,则应控制当天车流量在多少万辆以内?(结果以万辆为单位,保留整数.)
参考公式:回归直线的方程是,其中, .
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【题目】设椭圆的两个焦点分别为, ,过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点,若为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析:解:设点P在x轴上方,坐标为(),∵为等腰直角三角形,∴|PF2|=|F1F2|, ,故选D.
考点:椭圆的简单性质
点评:本题主要考查了椭圆的简单性质.椭圆的离心率是高考中选择填空题常考的题目.应熟练掌握圆锥曲线中a,b,c和e的关系
【题型】单选题
【结束】
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【题目】“”是“对任意的正数, ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
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