【题目】已知函数f(x)=sin(ωx-)(其中ω>0)的图象上相邻两个最高点的距离为π.
(Ⅰ)求函数f(x)的图象的对称轴;
(Ⅱ)若函数y=f(x)-m在[0,π]内有两个零点x1,x2,求m的取值范围及cos(x1+x2)的值.
【答案】(I);(II),.
【解析】
(Ⅰ)由题意,图象上相邻两个最高点的距离为,即周期,可得,即可求解对称轴;
(Ⅱ)函数在,内有两个零点,,转化为函数与函数有两个交点,即可求解的范围;在,内有两个零点,是关于对称轴是对称的,即可求解的值.
解:(Ⅰ)∵已知函数f(x)=sin(ωx-)(其中ω>0)的图象上相邻两个最高点的距离为=π,
∴ω=2,
故函数f(x)=sin(2x-).
令2x-=kπ+,k∈Z
得x=+,k∈Z,
故函数f(x)的图象的对称轴方程为x=+,k∈Z.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知函数f(x)=sin(2x-).
∵x∈[0,π],
∴2x-∈[,]
∴-≤sin(2x-)≤,
要使函数y=f(x)-m在[0,π]内有两个零点.
∴-<m<,且m
即m的取值范围是(-,)∪(-,).
函数y=f(x)-m在[0,π]内有两个零点x1,x2,
可得x1,x2是关于对称轴是对称的;
对称轴方=2x-,k∈Z.
得x=,
在[0,π]内的对称轴x=或
当m∈(-,1)时,可得x1+x2=,
∴cos(x1+x2)=cos
当m∈(-1,-)时,可得x1+x2=,
∴cos(x1+x2)=cos=.
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【题目】某工厂有一个容量为300吨的水塔,每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水.已知该厂生活用水为每小时10吨,生产用水量(吨)与时间(单位:小时,且规定早上6时)的函数关系式为:,水塔的进水量分为10级,第一级每小时进水10吨,以后每提高一级,每小时进水量就增加10吨.若某天水塔原有水100吨,在开始供水的同时打开进水管.
(1)若进水量选择为级,水塔中剩余水量为吨,试写出与的函数关系式;
(2)如何选择进水量,既能始终保证该厂的用水(水塔中水不空)又不会使水溢出?
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【题目】某地区进行疾病普查,为此要检验每一人的血液,如果当地有人,若逐个检验就需要检验次,为了减少检验的工作量,我们把受检验者分组,假设每组有个人,把这个个人的血液混合在一起检验,若检验结果为阴性,这个人的血液全为阴性,因而这个人只要检验一次就够了,如果为阳性,为了明确这个个人中究竟是哪几个人为阳性,就要对这个人再逐个进行检验,这时个人的检验次数为次.假设在接受检验的人群中,每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的,且每个人是阳性结果的概率为.
(Ⅰ)为熟悉检验流程,先对3个人进行逐个检验,若,求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率;
(Ⅱ)设为个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数.
①当,时,求的分布列;
②是运用统计概率的相关知识,求当和满足什么关系时,用分组的办法能减少检验次数.
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【题目】在数列{an}中,若an2﹣an﹣12=p,(n≥2,n∈N*,p为常数),则称{an}为“等方差数列”,下列是对“等方差数列“的判断:
①若{an}是等方差数列,则{an2}是等差数列;
②{(﹣1)n}是等方差数列;
③若{an}是等方差数列,则{akn}(k∈N*,k为常数)也是等方差数列;
④若{an}既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列.
其中正确命题的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造.根据史书的记载和考古材料的发现,古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子,一般长为,径粗,多用竹子制成,也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的,大约二百七十几枚为一束,放在一个布袋里,系在腰部随身携带.需要记数和计算的时候,就把它们取出来,放在桌上、炕上或地上都能摆弄.在算筹计数法中,以纵横两种排列方式来表示数字.如图,是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如:3可表示为“”,26可表示为“”,现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则用这6根算筹能表示的两位数的个数为( )
A.13B.14C.15D.16
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【题目】为了适应高考改革,某中学推行“创新课堂”教学.高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课,高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课,为了比较教学效果,期中考试后,分别从两个班中各随机抽取名学生的成绩进行统计分析,结果如下表:(记成绩不低于分者为“成绩优秀”)
分数 | |||||||
甲班频数 | |||||||
乙班频数 |
(Ⅰ)由以上统计数据填写下面的列联表,并判断是否有以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”?
甲班 | 乙班 | 总计 | |
成绩优秀 | |||
成绩不优秀 | |||
总计 |
(Ⅱ)现从上述样本“成绩不优秀”的学生中,抽取人进行考核,记“成绩不优秀”的乙班人数为,求的分布列和期望.
参考公式:,其中.
临界值表
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知焦点在x轴上,离心率为的椭圆E的左顶点为A,点A到右准线的距离为6.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)过点A且斜率为的直线与椭圆E交于点B,过点B与右焦点F的直线交椭圆E于M点,求M点的坐标.
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