Question

已知双曲线C：x²-

y2

b2

=1（b＞0），过点M（1，1）作直线l交双曲线C于A、B两点，使得M是线段AB的中点，则实数b取值范围为（　　）

• A、（1，

  2

  ）
• B、（-1，0）∪（0，1）
• C、（0，1）
• D、（1，+∞）

Answer 1

分析：由点斜式设出直线l的方程，与双曲线的方程联立，两交点的中点坐标是M（1，1）由中点坐标公式建立方程求出参数的值即可

解答：解：由题意设l：y-1=k（x-1），即y=kx-k+1，代入x²-

y2

b2

=1，
整理得（b²-k²）x²+2k（k-1）x-（k-1）²-b²=0
不妨令A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
则有x₁+x₂=2，
所以x₁+x₂=2=

2k2-2k

k2-b2

，整理得k=b²，
当直线与曲线有两个交点时，可得△＞0，用b代替k整理出
4b²（-b²+1）＞0
即b²-1＜0
∴-1＜b＜1，
又b＞0，故0＜b＜1为所求
故选C．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是根据条件中所给的中点的坐标，得到两个变量之间的关系，用要求的变量代换．