Question

【题目】已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于

两点.

(1)求线段的长度；

(2) 为坐标原点, 为抛物线上一点，若，求的值．

Answer 1

【答案】(1)9;(2) 或.

【解析】试题分析：(1)直线的方程与抛物线的方程联立，再由根与系数的关系得利用抛物线的定义，即可求解弦的长度．

(2)由（1）可求得，从而两点的坐标，进而表示出向量的坐标，得出点的坐标，代入抛物线的方程，即可求解实数的值．

试题解析：

(1)直线AB的方程是y＝2（x-2），与y2＝8x联立，消去y得x2－5x＋4＝0，

由根与系数的关系得x1＋x2＝5.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，

(2)由x2－5x＋4＝0，得x1＝1，x2＝4，从而A(1，－2)，B(4，4)．

设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，

又y＝8x3，即[2 (2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.