Question

（2013•松江区一模）已知

a

=(2cosx，1)，

b

=(cosx，

3

sin2x)，其中x∈R．设函数f(x)=

a

•

b

，求f（x）的最小正周期、最大值和最小值．

Answer 1

分析：根据向量数量积的坐标表示式，将f（x）表示成2cos2x+

3

sin2x，再用降幂公式和辅助角公式化简整理，可得f（x）=2sin(2x+

π

6

)+1，最后根据函数y=Asin（ωx+φ）+k的周期和最值的公式，即可得到本题的答案．

解答：解：∵向量

a

=(2cosx，1)，

b

=(cosx，

3

sin2x)，
∴f(x)=

a

•

b

=2cos2x+

3

sin2x…（3分）
=2•

cos2x+1

2

+

3

sin2x
=cos2x+

3

sin2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1…（6分）
∴最小正周期  T=

2π

2

=π…（8分）
当2x+

π

6

=

π

2

+2kπ，即x=

π

6

+kπ，(k∈Z)时，
f（x）_max=2+1=3…（10分）
当2x+

π

6

=

3π

2

+2kπ，即x=

2π

3

+kπ，(k∈Z)时，
f（x）_min=-2+1=-1…（12分）
综上所述，最小正周期为π，最大值为3，最小值为1．

点评：本题以向量的数量积运算为载体，着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．