Question

如图，给出定点A（a，0）（a＞0，a≠1）和直线l：x=-1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C．求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系．

Answer 1

分析：欲求点C的轨迹方程，设点C（x，y），只须求出其坐标x，y的关系式即可，由题意知点C到OA、OB距离相等得到一个关系式，化简即得点C的轨迹方程，最后对参数a进行讨论来判断轨迹是什么图形即可．

解答：解：依题意，记B（-1，b）（b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=-bx．
设点C（x，y），
则有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等．
根据点到直线的距离公式得|y|=

|y+bx|

1+b2

.①
依题设，点C在直线AB上，故有y=-

b

1+a

(x-a).
由x-a≠0，得b=-

(1+a)y

x-a

.②
将②式代入①式得y2[1+

(1+a)2y2

(x-a)2

]=[y-

(1+a)xy

x-a

]2，
整理得y²[（1-a）x²-2ax+（1+a）y²]=0．
若y≠0，则（1-a）x²-2ax+（1+a）y²=0（0＜x＜a）；
若y=0，则b=0，∠AOB=π，点C的坐标为（0，0），满足上式．
综上得点C的轨迹方程为（1-a）x²-2ax+（1+a）y²=0（0≤x＜a）
因为a≠0，所以

(x- a 1-a )2

( a 1-a )2

+

y2

a2 1-a

=1(0≤x＜a).
由此知，当0＜a＜1时，方程③表示椭圆弧段；
当a＞1时，方程③表示双曲线一支的弧段；

点评：本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力．