【题目】已知函数.
求
的单调区间和极值;
当
时,证明:对任意的
,函数
有且只有一个零点.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1)先求得导函数,根据导数对a分类讨论即可判断单调区间和极值的情况。
(2)把a=1代入函数,去证明函数只有1个零点,转化为证明方程只有1个正实数根。通过分离参数k,研究新函数的导数,根据导数的单调性讨论在a的不同取值时的情况即可。
解:函数
的定义域为
,
,
当时,
,
在定义域
上单调递增,
无极值;
当时,由
,得
,
当时,
,得
的单调递增区间是
;
当时,
,得
的单调递减区间是
,
故的极大值为
,
无极小值.
证明:当
时,函数
,
欲证对任意的,函数
有且只有一个零点,
即证方程有且只有一个正实数根,
由,得
,
令,则
,
令,则
,
由,得
,
当时,
,则
在
上单调递增;
当时,
,则
在
上单调递减,
所以,
于是,则
在
上单调递减.
设,则
,由
,得
,
当时,
,则
在
上单调递减;
当时,
,则
在
上单调递增,
所以,即当
时,
,
所以当时,
,
对任意的,有
当
时,
,有
;
当时,有
,
又在
上单调递减,所以存在唯一的
,有
;
当
时,
,有
,
当时,有
,
又在
上单调递减,所以存在唯一的
,有
,
综上所述,对任意的,方程
有且只有一个正实数根,
即函数有且只有一个零点.
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【题目】将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到如图的“0-1三角”.在“三角”中,从第1行起,设第n
次出现全行为1时,1的个数为
,则
等于( )
A.13B.14C.15D.16
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【题目】针对“中学生追星问题”,某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查,其中女生人数是男生人数的,男生追星的人数占男生人数的
,女生追星的人数占女生人数的
.若有
的把握认为是否追星和性别有关,则男生至少有( )
参考数据及公式如下:
A. 12B. 11C. 10D. 18
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【题目】2018年11月21日,意大利奢侈品牌“﹠
”在广告中涉嫌辱华,中国明星纷纷站出来抵制该品牌,随后京东、天猫、唯品会等中国电商平台全线下架了该品牌商品,当天有大量网友关注此事件,某网上论坛从关注此事件跟帖中,随机抽取了100名网友进行调查统计,先分别统计他们在跟帖中的留言条数,再把网友人数按留言条数分成6组:
,
,
,
,
,
,得到如图所示的频率分布直方图;
并将其中留言不低于40条的规定为“强烈关注”,否则为“一般关注”,对这100名网友进一步统计得到列联表的部分数据如下表.
一般关注 | 强烈关注 | 合计 | |
男 | 45 | ||
女 | 10 | 55 | |
合计 | 100 |
(1)在答题卡上补全列联表中数据;并判断能否有95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关?
(2)现已从“强烈关注”的网友中按性别分层抽样选取了5人,再从这5人中选取2人,求这2人中至少有1名女性的概率.
参考公式及数据:,
0.05 | 0.010 | |
3.841 | 6.635 |
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【题目】甲、乙二射击运动员分别对一目标射击次,甲射中的概率为
,乙射中的概率为
,求:
(1)人都射中目标的概率; (2)
人中恰有
人射中目标的概率;
(3)人至少有
人射中目标的概率; (4)
人至多有
人射中目标的概率?
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【题目】已知点,圆
,点
是圆上一动点,
的垂直平分线与
交于点
.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设点的轨迹为曲线
,过点
且斜率不为0的直线
与
交于
两点,点
关于
轴的对称点为
,证明直线
过定点,并求
面积的最大值.
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【题目】已知复数(i为虚数单位)在复平面内对应的点为
,复数z满足
,下列结论正确的是( )
A.点的坐标为
B.复数
的共轭复数的虚部为-2i
C.复数z对应的点Z在一条直线上D.与z对应的点Z间的距离的最小值为
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【题目】设(e为自然对数的底数),
.
(I)记,讨论函
单调性;
(II)令,若函数G(x)有两个零点.
(i)求参数a的取值范围;
(ii)设的两个零点,证明
.
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