解:(I)f(x)的定义域是(0,1)∪(1,+∞),(2分)
,f'(x)=0,得x=e,(4分)
列表
当x=e时,函数f(x)取极小值f(e)=e,没有极大值;(6分)
(II)方法1:g(x)=0,即
,
由于(I)知x∈[2,3]时,f(x)的最小值是e,(8分)
,
,
∵
,
∴f(2)>f(3),(10分)
∴函数g(x)在(2,3)上恰好有两个不同零点时,实数m的取值范围是
.(12分)
方法2:当m≤0时,g(x)=x-mlnx在(2,3)上是单调递增函数,函数g(x)在(2,3)上不可能有两个不同零点(8分)
当m>0时,
,g(x)在(0,m)上单调递减,在(m,+∞)上单调递增,
∵函数g(x)在(2,3)上不可能有两个不同零点,∴m∈(2,3)(10分)
由
,
以及
,
得实数m的取值范围是
.(12分)
分析:(I)利用函数的性质,使
的分母不为0,对数有意义,利用导数求其极值.
(II)函数的零点就是方程的根,转化为f(x)的范围,确定f(2)、f(3)的大小,确定m的范围.
也可以在(2,3)内g(x)的极小值小于0,2和3的函数值大于0,求解即可.
点评:本题考查函数的定义域,零点定理的判定,导数求极值的方法,考查学生发现问题解决问题的能力,是中档题.