Question

（2013•镇江二模）在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则cos²α+cos²β=1．类比到空间中一个正确命题是：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，对角线AC₁与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则有

cos²α+cos²β+cos²γ=2

．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是类比推理，由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos²α+cos²β=1，根据长方体性质可以类比推断出空间性质，从而得出答案．

解答：解：我们将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质．
由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，
则有cos²α+cos²β=1，
我们根据长方体性质可以类比推断出空间性质，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
对角线AC₁与过A点的三个面ABCD，AA₁B₁B、AA₁D₁D所成的角分别为α，β，γ，
∴cosα=

AC

AC1

，cosβ=

AB1

AC1

，cosγ=

AD1

AC1

，
∴cos²α+cos²β+cos²γ
=

AC2+A B 2 1 +A D 2 1

A C 2 1

=

2(AB2+AD2+A A 2 1 )

AB2+AD2+A A 2 1

=2．
故答案为：cos²α+cos²β+cos²γ=2．

点评：本题考查的知识点是类比推理，在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质，或是将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质．