Question

已知数列的前项和为，且满足 ()，，设，．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若≥，，求实数的最小值；

（3）当时，给出一个新数列，其中，设这个新数列的前项和为，若可以写成 (且)的形式，则称为“指数型和”．问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）根据等比数列的定义，相邻两项的比值为定值。

（2）-9

（3）①当为偶数时，，存在正整 数，使得，，,，所以且，

相应的，即有，为“指数型和”；        

②当为奇数时，，由于是个奇数之和，仍为奇数，又为正偶数，所以不成立，此时没有“指数型和

【解析】

试题分析：解：（1），，，当时，

=2，所以为等比数列． ，．

（2） 由（1）可得   

；  ，   ，

所以，且．所以的最小值为-9

（3）由（1）当时 ，

当时，，，

所以对正整数都有．                   

由，，(且)，只能是不小于3的奇数．

①当为偶数时，，

因为和都是大于1的正整数，

所以存在正整 数，使得，，

,，所以且，

相应的，即有，为“指数型和”；        

②当为奇数时，，由于是个奇数之和，

仍为奇数，又为正偶数，所以不成立，此时没有“指数型和”

考点：数列和函数的 综合运用

点评：解决的关键是能利用数列的定义和数列的单调性来求解参数的值，同事能借助于新定义来求解，属于基础题。