Question

已知函数f（x）=ax²-2ax+2+b（a≠0）在区间[2，3]上有最大值5，最小值2；
（1）求a，b的值；
（2）若a＜0，g（x）=f（x）-2^mx在[2，4]上无零点，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）由于二次函数f（x）=ax²-2ax+2+b的对称轴为x=1，
当a＞0时，函数在区间[2，3]上是增函数，由 求得 ．
当a＜0时，函数在区间[2，3]上是减函数，由 解得 ．（8分）
综上可得，，或 ．
（2）由（1）的结论及a＜0，则有，得f（x）=-x²+2x+5，
故 g（x）=f（x）-2^mx=-x²+（2-2^m）x+5，对称轴，
所以在区间[2，4]上单调递减．（12分）
又g（4）=-16+（2-2^m）×4+5＜0，g（x）=f（x）-2^mx在[2，4]上无零点，
所以有g（2）＜0，即5-2×2^m＜0，2^m，得，
故m的取值范围为（ ，+∞）．（16分）
分析：（1）由于二次函数的对称轴为x=1，当a＞0时，由函数的单调性可得 ，由此求得a，b的值．当a＜0时，由函数的单调性可得，由此求得a，b的值．综上可得结论．
（2）由（1）的结论及a＜0，可得函数g（x）在区间[2，4]上单调递减，由g（4）＜0，结合题意可得g（2）＜0，即5-2×2^m＜0，由此求得 m的取值范围．
点评：本题主要考查二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．