Question

【题目】如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABNCD，EF∥AB，AB=2，BC=EF=1，AE= ，∠BAD=60°，G为BC的中点．
（1）求证：FG∥平面BED；
（2）求证：平面BED⊥平面AED；
（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：BD的中点为O，

连接OE，OG，在△BCD中，

∵G是BC的中点，

∴OG∥DC，且OG= DC=1，

又∵EF∥AB，AB∥DC，

∴EF∥OG，且EF=0G，

即四边形OGEF是平行四边形，

∴FG∥OE，

∵FG平面BED，OE平面BED，

∴FG∥平面BED；

（2）

证明：在△ABD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，

由余弦定理可得BD= ，仅而∠ADB=90°，

即BD⊥AD，

又∵平面AED⊥平面ABCD，

BD平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，

∴BD⊥平面AED，

∵BD平面BED，

∴平面BED⊥平面AED

（3）

解：∵EF∥AB，

∴直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，

过点A作AH⊥DH于点H，连接BH，

又平面BED∩平面AED=ED，

由（2）知AH⊥平面BED，

∴直线AB与平面BED所成的为∠ABH，

在△ADE，AD=1，DE=3，AE= ，由余弦定理得cos∠ADE= ，

∴sin∠ADE= ，

∴AH=AD ，

在Rt△AHB中，sin∠ABH= = ，

∴直线EF与平面BED所成角的正弦值

【解析】（1）利用中位线定理，和平行公理得到四边形OGEF是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）根据余弦定理求出BD= ，继而得到BD⊥AD，再根据面面垂直的判定定理即可证明；
（3）先判断出直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案．
本题考查了直线与平面的平行和垂直，平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对平面与平面垂直的判定的理解，了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．