Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F位于直线x+y-1=0上．
（1）求抛物线方程；
（2）过抛物线的焦点F作倾斜角为45°的直线，交抛物线于A，B两点，求AB的中点C到抛物线准线的距离．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）先求出焦点进而求出P，从而求出抛物线的方程；
（2）先根据抛物线的焦点坐标和直线的倾斜角可表示出直线AB的方程，然后联立直线方程与抛物线方程可得到两根之和与两根之积，进而可得到中点C的横坐标，求出AB的中点C到抛物线准线的距离．

解答： 解：（1）∵抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F位于直线x+y-1=0上．
所以焦点是（1，0），
故

p

2

=1，
∴p=2，
所以抛物线的方程为：y²=4x；
（2）抛物线y²=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，
直线AB的方程为y=x-1，
设点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
将y=x-1代入y²=4x得x²-6x+1=0．
则x₁+x₂=6，x₁•x₂=1．
故中点C的横坐标为3．
所以中点C到准线的距离为3+1=4．

点评：本题主要考查直线与抛物线的综合问题和两点间的距离公式．直线与圆锥曲线的综合问题一直都是高考的重点，要着重复习．