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已知函数f(x)=x+
2ax
(a为常数)的图象经过点(1,3).
(1)求实数a的值;
(2)写出函数f(x)在[a,a+1]上的单调区间,并求函数f(x)在[a,a+1]上的值域.
分析:(1)只需要代入x=1即可得结果.
(2)首先要判断函数的单调区间,然后利用单调性来解答函数治值域的问题,这是求函数值域的重要方法.利用定义求单调区间的时候,要注意x1,x2的任意性,本题中求单调区间需要分1≤x1<x2
2
和-
2
≤x1<x2≤2进行讨论.
解答:解:(1)由已知f(1)=1+
2a
1
=2a+1=3,得a=1;
    (2)有(1)知a=1,所以函数f(x)=x+
2
x

    在[1,2]上可设设1<x1<x2<2,则
    f(x1)-f(x2)=(x1+
2
x1
)-(x2+
2
x2

=(x1-x2)+(
2
x1
-
2
x2

=(x1-x2)•
x1x2-2
x1x2

    因为0<x1<x2,所以x1-x2<0,x1•x2>0,
    当1<x1<x2
2
时,x1•x2-2<0,所以
x1x2-2
x1x2
<0
    所以:f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2
    所以f(x)在(1,
2
]上是减函数.
    当
2
≤x1<x2<2时,x1•x2-2>0,所以
x1x2-2
x1x2
>0
    所以:f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2
    所以f(x)在[
2
,2)上是增函数.
    因此函数f(x)在[a,a+1]即在[1,2]上的单调区间为:
    减区间为[1,
2
]
,增区间为[
2
,2]

    所以函数在[1,2]上的最小值为f(
2
)=2
2

    又因为f(1)=3,f(2)=3,所以函数的值域是[2
2
,3]
点评:本题考查函数的解析式,函数值的求法,函数单调性以及利用函数单调性解答函数值域和最值的知识.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数,且f(3)<f(5).
(1)求m的值,并确定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1),是否存在实数a,使g(x)在区间[2,3]上的最大值为2,若存在,请求出a的值,若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•上海模拟)已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:浙江省东阳中学高三10月阶段性考试数学理科试题 题型:022

已知函数f(x)的图像在[a,b]上连续不断,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值,若存在最小正整数k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)对任意的x∈[a,b]成立,则称函数f(x)为[a,b]上的“k阶收缩函数”.已知函数f(x)=x2,x∈[-1,4]为[-1,4]上的“k阶收缩函数”,则k的值是_________.

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科目:高中数学 来源:上海模拟 题型:解答题

已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:2009-2010学年河南省许昌市长葛三高高三第七次考试数学试卷(理科)(解析版) 题型:选择题

已知函数f(x)、g(x),下列说法正确的是( )
A.f(x)是奇函数,g(x)是奇函数,则f(x)+g(x)是奇函数
B.f(x)是偶函数,g(x)是偶函数,则f(x)+g(x)是偶函数
C.f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则f(x)+g(x)一定是奇函数或偶函数
D.f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则f(x)+g(x)可以是奇函数或偶函数

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