Question

18．求下列函数的单调区间
（1）y=$\frac{1}{{x}^{2}-4x+5}$；
（2）y=$\sqrt{{x}^{2}-x-6}$；
（3）y=$\frac{1}{\sqrt{-{x}^{2}-2x+3}}$．

Answer 1

分析 根据复合函数单调性之间的关系，利用换元法进行判断即可．

解答 解：（1）设t=x²-4x+5，则y=$\frac{1}{t}$为减函数，
由t=x²-4x+5=（x-2）²+1＞0得函数的定义域为（-∞，+∞），
对称轴为x=2，当x≥2时，t=x²-4x+5单调递增，而y=$\frac{1}{t}$为减函数，此时函数y=$\frac{1}{{x}^{2}-4x+5}$为减函数，即单调递减区间为[2，+∞），
当x≤2时，t=x²-4x+5单调递减，而y=$\frac{1}{t}$为减函数，此时函数y=$\frac{1}{{x}^{2}-4x+5}$为增函数，即单调递增区间为（-∞，2]．
（2）由t=x²-4x+5=（x+2）（x-3）≥0得x≥3或x≤-2，
当x≥3时，t=x²-x-6单调递增，而y=$\sqrt{t}$为增函数，此时函数y=$\sqrt{{x}^{2}-x-6}$为增函数，即单调递增区间为[3，+∞），
当x≤-2时，t=x²-x-6单调递减，而y=$\sqrt{t}$为增函数，此时函数y=$\sqrt{{x}^{2}-x-6}$为减函数，即单调递减区间为（-∞，-2]．
（3）设t=-x²-2x+3，u=$\sqrt{t}$，y=$\frac{1}{u}$，
由-x²-2x+3＞0得x²+2x-3＜0得-3＜x＜1，即函数的定义域为（-3，1），t=-x²-2x+3的对称轴为x=-1，
当-3＜x≤-1时，函数t=-x²-2x+3为增函数，则u=$\sqrt{t}$为增函数，y=$\frac{1}{u}$为减函数，此时y=$\frac{1}{\sqrt{-{x}^{2}-2x+3}}$为减函数，即单调递减区间为（-3，-1]．
当-1≤x＜1时，函数t=-x²-2x+3为减函数，则u=$\sqrt{t}$为增函数，y=$\frac{1}{u}$为减函数，此时y=$\frac{1}{\sqrt{-{x}^{2}-2x+3}}$为增函数，即单调递增区间为[-1，1）．

点评 本题主要考查函数单调区间的求解，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．