Question

16．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两墙足够长），用16m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是a（0＜a＜12）m和4m，现需要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）．设矩形ABCD的面积是ym²，长DA为xm．
（1）设y=f（x），求y=f（x）的解析式并求出其定义域；
（2）试求y=f（x）的最大值与最小值之差g（a）．

Answer 1

分析 （1）AD长为x，则CD长为16-x，由题意可得a≤x≤12，运用矩形的面积公式，即可得到所求解析式和定义域；
（2）讨论a的范围，当0＜a≤4时，当4＜a≤8时，当8＜a＜12时，结合二次函数的对称轴和单调性，即可得到最值，进而得到g（a）的解析式．

解答 解：（1）AD长为x，则CD长为16-x，
又因为要将P点围在矩形ABCD内，
∴a≤x≤12，
则矩形ABCD的面积为y=f（x）=x（16-x），定义域为[a，12]；
（2）当0＜a≤4时，当且仅当x=8时，f（x）取得最大值64，
x=a时，取得最小值，且为a（16-a），可得g（a）=64-16a+a²；
当4＜a≤8时，f（x）的最大值为64，最小值为12×（16-12）=48，
g（a）=64-48=16；
当8＜a＜12时，[a，12]为递减区间，可得：
f（x）的最大值为a（16-a），最小值为48，
即有g（a）=16a-a²-48．
则有g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{64-16a+{a}^{2}，0＜a≤4}\\{16，4＜a≤8}\\{16a-{a}^{2}-48，8＜a＜12}\end{array}\right.$．

点评 本题考查二次函数的解析式和最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法，属于中档题．