Question

已知函数f（x）=（x+2）|x-a|
（1）当a=2时，解不等式f（x）＞3x；
（2）当x∈[-1，1]时，f（x）＜3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用零点分段法，将绝对值符合化去，解所得不等式即可；
（2）当x∈[-1，1]时，f（x）＜3．即（x+2）|x-a|＜3，即2-

3

x+2

＜a＜2+

3

x+2

，令gg（x）=2-

3

x+2

，hh（x）=2+

3

x+2

，则有g（x）_max＜a＜h（x）_min，故可得出答案．

解答：解：（1）当a=2时，不等式f（x）＞3x可化为（x+2）|x-2|＞3x
当x≥2时，原不等式可化为（x+2）（x-2）＞3x，即x²-3x-4＞0
解得：x＜-1，或x＞4
∴x＞4
当x＜2时，原不等式可化为（x+2）（-x+2）＞3x，即x²+3x-4＜0
解得：-4＜x＜1
∴-4＜x＜1
综上所述不等式f（x）＞3x的解集为（-4，1）∪（4，+∞）
（2）当x∈[-1，1]时，f（x）＜3恒成立，
即当x∈[-1，1]时，（x+2）|x-a|＜3恒成立，
即当x∈[-1，1]时，|x-a|＜

3

x+2

恒成立，
即当x∈[-1，1]时，2-

3

x+2

＜a＜2+

3

x+2

令gg（x）=2-

3

x+2

，hh（x）=2+

3

x+2

，x∈[-1，1]
则有g（x）_max＜a＜h（x）_min．
由gg（x）=2-

3

x+2

在[-1，1]上单调递增，可得g（x）_max=g（1）=1
又hh（x）=2+

3

x+2

在[-1，1]上单调递减，故h（x）_min=h（-1）=5
所以1＜a＜5
即实数a的取值范围为（1，5）

点评：本题以函数为载体，考查解不等式，考查了函数恒成立问题，有一定的难度