Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=BB1 ， AB1∩A1B=E，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD．
（1）求证：BD⊥平面A1ACC1；
（2）若AB=1，且ACAD=1，求二面角B﹣A1D﹣B1的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结ED，

∵平面AB1C∩平面A1BD=ED，B1C∥平面A1BD，

∴B1C∥ED，

∵E为AB1中点，∴D为AC中点，

∵AB=BC，∴BD⊥AC①，

法一：由A1A⊥平面ABC，BD平面ABC，得A1A⊥BD，②，

由①②及A1A、AC是平面A1ACC1内的两条相交直线，

得BD⊥平面A1ACC1．

法二：由A1A⊥平面ABC，A1A平面A1ACC1，

∴平面A1ACC1⊥平面ABC，又平面A1ACC1∩平面ABC=AC，

得BD⊥平面A1ACC1．

（2）解：由AB=1，得BC=BB1=1，

由（1）知DA= AC，又ACDA=1，得AC2=2，

∵AC2=2=AB2+BC2，∴AB⊥BC，

如图以B为原点，建立空间直角坐标系B﹣xyz，如图示，

则A1（1，0，1），B1（0，0，1），D（ ），

得 =（1，0，0）， =（ ），

设 =（x，y，z）是平面A1B1D的一个法向量，

则 ，令z=1，得 =（0，2，1），

设 =（a，b，c）为平面A1BD的一个法向量，则 ，

令c=1，得 =（﹣1，1，1），

依题意知二面角B﹣A1D﹣B1为锐二面角，设其大小为θ，

则cosθ=|cos＜ ＞|= = = ，

即二面角B﹣A1D﹣B1的余弦值为 ．

其它解法请参照给分．

【解析】（Ⅰ）法一：连结ED，推导出B1C∥ED，BD⊥AC，A1A⊥BD，由此能证明BD⊥平面A1ACC1 ． 法二：连结ED，推导出A1A⊥平面ABC，由平面A1ACC1⊥平面ABC，能证明BD⊥平面A1ACC1 ． （Ⅱ）以B为原点，建立空间直角坐标系B﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣A1D﹣B1的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．