Question

【题目】数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美.如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法错误的是（ ）

A.对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个

B.可以是某个圆的“优美函数”

C.正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”

D.函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形

Answer 1

【答案】D

【解析】

利用“优美函数”的定义判断选项A，B，C正确，函数的图象是中心对称图形，则函数是“优美函数”，但是函数是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，举出反例，可判断选项D错误.

对于A：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，所以对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个，故选项A正确；

对于B：因为函数图象关于原点成中心对称，所以将圆的圆心放在原点，则函数是该圆的“优美函数”，故选项B正确；

对于C：将圆的圆心放在正弦函数的对称中心上，则正弦函数是该圆的“优美函数”，故选项C正确；

对于D：函数的图象是中心对称图形，则函数是“优美函数”，但是函数是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图所示：

，

所以函数的图象是中心对称图形是函数是“优美函数”的充分不必要条件，故选项D错误，

故选：D.