Question

设数列{a_n}的各项都是正数，且对任意n∈N⁺，都有a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²，其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）求证：a_n²=2S_n-a_n；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2^a_n（λ为非零整数，n∈N^*）试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令n=1代入a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²，可得a₁的值，然后推出S_n-1²的表达式，与S_n²相减可得a_n²=2S_n-a_n，从而求证；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n²=2S_n-a_n利用递推公式，得a_n-1²的表达式，从而可得数列a_n是首项为1，公差为1的等差数列．
（Ⅲ）第一步要求出b_n+1-b_n的表达式，然后再进行分类讨论，n为奇偶的情况确定λ的范围；

解答：解：（Ⅰ）由已知得，当n=1时，a₁³=S₁²=a₁²，
又∵a_n＞0，∴a₁=1
当n≥2时，a₁³+a₂³++a_n³=S_n²①
a₁³+a₂³++a_n-1³=S_n-1²②
由①-②得，a_n³=S_n²-S_n-1²=（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1）=a_n（S_n+S_n-1）
∴a_n²=S_n+S_n-1=2S_n-a_n（n≥2）
显然当n=1时，a₁=1适合上式．
故a_n²=2S_n-a_n（n∈N^*）
（Ⅱ）由（I）得，a_n²=2S_n-a_n③
a_n-1²=2S_n-1-a_n-1（n≥2）④
由③-④得，a_n²-a_n-1²=2S_n-2S_n-1-a_n+a_n-1=a_n+a_n-1
∵a_n+a_n-1＞0∴a_n-a_n-1=1（n≥2）
故数列a_n是首项为1，公差为1的等差数列．
∴a_n=n（n∈N^*）
（III）∵a_n=n（n∈N^*），∴b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ
∴b_n+1-b_n=3ⁿ⁺¹-3ⁿ+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺¹-（-1）^n-1λ•2ⁿ=2×3ⁿ-3λ•（-1）^n-1•2ⁿ
要使b_n-1＞b_n恒成立，只须（-1）^n-1 λ＜(

3

2

)^n-1
（1）当n为奇数时，即λ＜(

3

2

)n-1恒成立，
又(

3

2

)n-1的最小值为1，∴λ＜1
（2）当为偶数时，即λ＞(

3

2

)n-1恒成立，
又-(

3

2

)n-1的最大值为-

3

2

，
∴λ＞-

3

2

，∴由（1）（2）得-

3

2

＜λ＜1，
又λ=0且为整数，∴λ=-1对所有n∈N⁺，都有b_n+1＞b_n成立．

点评：此题主要考查等比数列的性质及递推公式的应用，难度比较大，后面第三问还需要分类讨论n的奇偶性，此题综合性较强，做题时要认真学会独立思考．