Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣2x+2（x∈R）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）求证：x＞0时，ex＞x2﹣2x+1．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=ex﹣2x+2（x∈R）．得f′（x）=ex﹣2，

令f′（x）=ex﹣2=0得，x=ln2，

当x＞ln2时，f′（x）＞0；当x＜ln2时，f′（x）＜0，

故当x=ln2时，f（x）有极小值也是最小值为f（ln2）=2（2﹣ln2）

（2）解：证明：设．（x＞0），则g′（x）=ex﹣2x+2，

由（1）知g′（x）=ex﹣2x+2有最小值g′（ln2）=2（2﹣ln2），

于是对于x＞0，都有g′（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上递增，

而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0，

即x＞0时，ex＞x2﹣2x+1

【解析】（1）求出函数的导数，求得单调区间，即可得到极小值，也为最小值；（2）构造函数g（x）=ex﹣x2+2x﹣1，通过导数求出g（x）的单调性，即可得到证明．
【考点精析】解答此题的关键在于理解基本求导法则的相关知识，掌握若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．