Question

6．已知函数 f （x）=x²ln x，若关于x的不等式 f （x）-kx+1≥0恒成立，则实数k 的取值范围是（-∞，1]．

Answer 1

分析 把恒成立问题转化为求函数最值问题，根据导函数求出函数g（x）=xlnx+$\frac{1}{x}$的最小值，得出答案．

解答 解：∵x²ln x-kx+1≥0恒成立，
∴k≤xlnx+$\frac{1}{x}$恒成立，
令g（x）=xlnx+$\frac{1}{x}$，
g'（x）=lnx+1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
当x在（1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）递增；
当x在（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）递减；
故g（x）的最小值为g（1）=1，
∴k≤1，
故答案为：（-∞，1]．

点评 本题考查了恒成立问题的转化和利用导函数判断函数的最值．属于常规题型，应熟练掌握．