Question

已知函数f(x)=x(x-a)2，g(x)=

a

2

x2，x∈(-∞，0)且a＜0.
（1）求函数y=f（x）与y=g（x）的图象的交点的坐标．
（2）设函数的图象在交点处的切线l₁、l₂，分别为是否存在这样的实数a，使得l₁⊥l₂？若存在，请求出a的值和相应交点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）求函数f（x）在[-1，0）上最小值F（a）．

Answer 1

分析：（1）令f（x）=g（x）求出x的值，然后代入可求得坐标．
（2）对函数f（x），g（x）分别进行求导，先假设存在这样的a，使得l₁⊥l₂，对（1）中两个交点分别进行考虑，都应该有g'（x）f'（x）=-1，求出a的值然后代入确定A的坐标．
（3）令f'（x）=0求出x的值，然后结合函数f（x）的单调性比较f（-1）与f（

a

3

）的大小进而可得到最小值．

解答：解：（i）设交点的坐标为(x，y)，由x(x-a)2=

a

2

x2，得x2-(2a+

a

2

)x+a2=0，
解得x1=

a

2

，x2=2a，且当x1=

a

2

时，y1=

a3

8

；当x2=2a时，y2=2a3.
故函数y=f（x）与y=g（x）图象的交点的坐标为A(

a

2

，

a3

8

)，B(2a，2a3)
（ii）g'（x）=ax，f'（x）=3x²-4ax+a²，若存在a，使得l₁⊥l₂．
（1）在点A(

a

2

，

a3

8

)处，有g/(

a

2

)f/(

a

2

)=-1，
又g′(

a

2

)•f′(

a

2

)=a•

a

2

•(3×

a2

4

-2a2+a2)=-

a4

8

，
则

a4

8

=1，又a＜0，故a=-4

8

，此时点A坐标为(-

4 8

2

，-

4 2

2

)
（2）在点A（2a，2a³）处，有g^/（2a）f^/（2a）=-1，
又g'（2a）•f'（2a）=a•（2a）•（3×4a²-8a²+a²）=10a⁴，则10a⁴=-1，无解．
综上，存在a=-4

8

，使得l1⊥l2，此时A(-

^ 8

2

，-

^ 2

2

)
（iii）令f′(x)=0得x1=

a

3

，x2=a．当x=

a

3

时，x3-2ax2+a2x=

4

27

a3，
上式整理得，(x-

4

3

a)(x-

a

3

)2=0，即直线y=

4

27

a3与y=f(x)图象另一交点横坐标x=

4

3

a.
结合图象可得：

（1）若

a

3

＜-1，即a＜-3时，F(a)=f(x)min=f(-1)=-(a+1)2；
（2）若

4

3

a＜-1≤

a

3

，即-3≤a＜-

3

4

时，F(a)=f(x)min=f(

a

3

)=

4

27

a3
（3）若

4

3

a≥-1，即-

3

4

≤a＜0时，F(a)=f(x)min=f(-1)=-(a+1)2.
综上F(a)=

-(a+1)2，a∈(-∞，-3)∪[- 3 4 ，0) 4 27 a3，?a∈[-3，- 3 4 )

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系、函数的最值．依据导数判断函数的单调性、求函数的最值是一种很重要的方法．