Question

已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（

1

2

）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），又数列{a_n}满足：a₁=

1

2

，a_n+1=

2an

1+ a 2 n

．
（I）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（II）求f（a_n）关于n的函数解析式；
（III）令g（n）=f（a_n）且数列{a_n}满足b_n=

1

g(n)

，若对于任意n∈N⁺，都有b₁+b₂+…+bn＜t2-3t恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用赋值法，结合奇函数的定义，可得结论；
（II）利用递推式，确定{f（a_n）}是首项为-1，公比为2的等比数列，即可求得f（a_n）关于n的函数解析式；
（III）求出数列的和，进而利用求最值的方法，解决恒成立问题．

解答：（I）证明：令x=y=0，可得f（0）=0
令x=0，则f（0）-f（y）=f（-y），即f（-y）=-f（y）
∵y∈（-1，1），∴f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（II）解：由f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），将y换为-y，可得f（x）-f（-y）=f（

x+y

1+xy

），
∵f（-y）=-f（y），∴f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

），
∴f（a_n+1）=f（

2an

1+ a 2 n

）=f（

an+an

1+ a 2 n

）=f（a_n）+f（a_n）=2f（a_n）
∴

f(an+1)

f(an)

=2
∵f（a₁）=f（

1

2

）=-1
∴{f（a_n）}是首项为-1，公比为2的等比数列
∴f（a_n）=-2^n-1；
（III）解：∵b_n=

1

g(n)

，∴b_n=-2^1-n，
∴b₁+b₂+…+b_n=-（1+

1

2

+…+

1

2n-1

）=

1

2n-1

-2
∵b₁+b₂+…+bn＜t2-3t恒成立，
∴

1

2n-1

-2＜t2-3t恒成立，
即t2-3t+2＞

1

2n-1

恒成立，
∵(

1

2n-1

)max=1
∴t²-3t+2＞1
∴t²-3t+1＞0
∴t＜

3- 5

2

或t＞

3+ 5

2

．

点评：本题函数的奇偶性，考查等比数列的证明，考查恒成立问题，正确确定函数的解析式是关键．