Question

求经过两直线l₁:x-2y+4=0和l₂:x+y-2=0的交点P,且与直线l₃:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.

Answer 1

思路分析:直线l与3x-4y+5=0垂直,利用垂直直线的斜率之积为-1,可得直线l的斜率,然后按点斜式写出方程.此外,也可用直线系方程求解.

解法一:解方程组

可以得到P(0,2).

因为l₃的斜率为,

所以直线l的斜率为,

所以l的方程为4x+3y-6=0.

解法二:设与直线l₃:3x-4y+5=0垂直的直线系的方程为4x+3y+m=0.

因为它过定点P(0,2),

所以4×0+3×2+m=0,m=-6,

所以直线l的方程为4x+3y-6=0.

解法三:设经过两直线l₁和l₂的交点的直线系方程为

x-2y+4+λ(x+y-2)=0,

即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0,

显然λ≠2,故其斜率为.

由题意知=,

解得λ=11,

所以直线l的方程为4x+3y-6=0.

  绿色通道:两条直线的位置与两条直线的交点存在着等价关系,两条直线的交点又与其方程组成的方程组存在着等价关系,即两直线相交?有一个交点?方程组有唯一解,对于垂直直线的斜率,两者之积为-1,知其一可求另一个;平行直线的斜率相等.