分析 (1)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,则f(x)=f(-x)恒成立,运用对数的运算性质,化简进而可得a值;
(2)若不等式f(x)+f(-x)≤2log4m对任意x∈[0,2]恒成立,化简即有4x+1≤m2x对任意的x∈[0,2]恒成立,令$t={2^{^x}}$,则t∈[1,4],可得t2-mt+1≤0在[1,4]恒成立,由二次函数的性质,进而可得实数m的取值范围.
解答 解:(1)∵f(x)是定义在R上的偶函数,
∴f(x)=f(-x)对任意x∈R恒成立,
∴${log_4}({4^x}+1)+ax={log_4}({4^{-x}}+1)-ax$,
∴$2ax={log_4}\frac{{{4^x}+1}}{4^x}-{log_4}({4^x}+1)=x$,
∴$a=-\frac{1}{2}$;
(2)∵f(x)+f(-x)≤2log4m,
∴$2{log_4}({4^x}+1)≤x+2{log_4}m$,
∴${log_2}({4^x}+1)≤{log_2}m•{2^x}$对任意的x∈[0,2]恒成立,
即4x+1≤m2x对任意的x∈[0,2]恒成立,
令$t={2^{^x}}$,则t∈[1,4],
∴t2-mt+1≤0在[1,4]恒成立,
∴$\left\{\begin{array}{l}2-m≤0\\ 17-4m≤0\end{array}\right.$,∴$m≥\frac{17}{4}$.
点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性,恒成立问题,注意运用定义法和换元法,同时考查指数函数和对数函数的性质及运用,难度中档.
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