Question

一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其中有一个高为x的内接圆柱，当x为何值时，圆柱的侧面积最大？求出最大值．

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：空间位置关系与距离

分析：根据圆锥的底面半径为2cm、高为6cm，可得内接圆柱的半径为x时，它的高h=（6-3x）cm，可得圆柱的侧面积S_侧=6π（2x-x²），结合二次函数的单调性与最值，可得当圆柱的底面半径为1cm时，圆柱的侧面积最大，侧面积有最大值为6π．

解答： 解：∵圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，
∴内接圆柱的底面半径为xcm时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为3xcm，
因此，内接圆柱的高 h=（6-3x）cm；
∴圆柱的侧面积S_侧=2πx（6-3x）=6π（2x-x²）  （0＜x＜2）
令t=2x-x²，当x=1时t_max=1．
可得当x=1cm时，（ S_侧）_max=6πcm²，
∴当圆柱的底面半径为1cm时，圆柱的侧面积最大，侧面积有最大值为6πcm²．

点评：本题给出特殊圆锥，求它的内接圆锥的侧面积的最大值，着重考查了圆柱侧面积公式和旋转体的内接外切等知识点，属于基础题．